Bài tập không gian metric có lời giải

Giáo trình Không gian Metric - Phần 1 giới thiệu đến người học các kiến thức về tập hợp số thực, lực lượng của các tập hợp, không gian Metric, khái niệm - bài tập - ánh xạ liên tục của không gian Metric.

Bạn đang xem: Bài tập không gian metric có lời giải

Tham khảo tài liệu để có kiến thức tổng hợp về Không gian Metric. ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA TS. NGUYỄN HOÀNG GIÁO TRÌNH KHÔNG GIAN MÊTRIC (CƠ SỞ GIẢI TÍCH) Huế - 2007 1 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 37

Loại tệp PDF

Kích thước 0.60 M

Tên tệp


ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA TS. NGUYỄN HOÀNG GIÁO TRÌNHKHÔNG GIAN MÊTRIC (CƠ SỞ GIẢI TÍCH) Huế - 2007 1 MỤC LỤCLỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................... 3A. KIẾN THỨC BỔ SUNG....................................................................................... 5 § 1 TẬP HỢP SỐ THỰC ....................................................................................... 5 §2. LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP ............................................................10B. KHÔNG GIAN MÊTRIC....................................................................................16 §1. KHÁI NIỆM MÊTRIC. .................................................................................16 BÀI TẬP...............................................................................................................21 §2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG..............................................................................23 BÀI TẬP...............................................................................................................30 §3. ÁNH XẠ LIÊN TỤC .....................................................................................32 BÀI TẬP...............................................................................................................37 $4 KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ...............................................................38 BÀI TẬP...............................................................................................................50 §5 KHÔNG GIAN COMPACT ...........................................................................52 BÀI TẬP...............................................................................................................67 §6. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG .....................................................................69 BÀI TẬP...............................................................................................................71C. LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN.............................................................................72 PHẦN A ...............................................................................................................72 PHẦN B ...............................................................................................................73TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................ 87 2 LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình này được viết dựa trên bài giảng cho sinh viên khoa Toán trườngĐHSP Huế trong những năm vừa qua. Học phần này có mục đích trang bị nhữngkiến thức căn bản về giải tích hiện đại mà bất cứ sinh viên Toán nào cũng phảinắm được. Khác với giải tích cổ điển, trong đó người ta làm việc chủ yếu trêntập IRk các bộ k số thực, ở đây các khái niệm cơ bản của giải thích như lân cận,giới hạn liên tục… được xét trong không gian tổng quát hơn mà phần tử của nócó thể là các đối tượng tuỳ ý miễn sao có thể xác định được khoảng cách giữahai phần tử đó. Ngoài một cách bản chất và sâu sắc những kiến thức về giải thíchcổ điển đã học trong những năm trước, cũng như chuẩn bị để học tốt các họcphần tiếp theo như lý thuyết độ đo, tích phân, giải tích hàm… Các khá nhiều sách viết về không gian mêtric, tuy nhiên người ta thườngchỉ trình bày những kiến thức đủ dùng cho mục đích của cuốn sách đó nên chưacó một giáo trình tương đối hoàn chỉnh riêng cho phần lý thuyết này. Ở đây, bạnđọc sẽ thấy nhiều bài tập được đưa vào với tư cách rèn luyện tư duy và đồng thờicũng có thể xem như bài bổ sung lý thuyết. Phần lớn các bài tập đều có lời giảntóm tắt hoặc chi tiết. Điều này có lẽ sẽ mang lại lợi ích thiết thực rất hạn chế vàcũng có ít sách giải bài tập để giúp cho sinh viên trong lúc học tập. Để học tốt học phần này, về nguyên tắc sinh viên chỉ cần nắm được nhữngkiến thức sơ cấp về lý thuyết tập hợp và ánh xạ, phép qui nạp và các suy luậnlogic toán học. Cần phải biết diễn tả một mệnh đề bằng nhiều mệnh đề tươngđương với nó cũng như hiểu và vận dụng cách chứng minh hay xây dựng các đốitượng bằng qui nạp hữu hạn. Tuy nhiên để có thể hiểu sâu sắc và nhất là làmđược các bài tập. Ở đây, ngôn ngữ hình học được dùng để diễn tả các khái niệmkhông gian mêtric, nhưng đôi lúc có những vấn đề vượt ra khỏi trực giác và suyluận chủ quan thông thường. Do đó với từng khái niệm, người học nhất thiếtphải hiểu thấu được định nghĩa, tự mình tìm được những ví dụ minh họa cho cácđịnh nghĩa đó. Như Dieudonne đã nói:... trực quan hình học, cùng với sự đềphòng thích đáng là một người hướng dẫn rất đáng tin tưởng trong hoàn cảnhtổng quát… Cuốn sách được chia làm hai phần. Phần kiến thức bổ sung nêu lại một cáchcó hệ thống các tính chất của tập số thực IR. Sinh viên tăng cường chú ý đến kháiniệm infimum và suptemum của một tập số thực và cần sử dụng một cách thành 3thạo, biên soạn. Về khái niệm lực lượng tập hợp, cần nắm được trong trường hợp nàothì một tập là đếm được, Phần thứ hai là phần chính của chương trình. Có nhiều con đường để trìnhbày các khái niệm. Ở đây chúng tôi chọn cách tiếp cận với ngôn ngữ thườngdùng, một mặt để người học dễ nhớ, mặt khác phần nào giải thích lý do đưa ratên gọi như vậy. Tuy nhiên, nhất thiết phải được hiểu theo đúng định nghĩa. Cáckhái niệm quan trọng phải kể đến là hội tụ, mở, đóng, liên tục, đầy đủ,compact… Đặc trưng phần này là nặng về suy luận hơn tính toán, hơn nữa nhiềuthuật ngữ chồng chất lên nhau làm người mới học thấy lúng túng. Vì thế sinhviên nên tìm thêm ví dụ và hình ảnh trực quan để dễ nhớ. Sau khi nắm được lýthuyết, các bạn tự mình giải các bài tập cẩn thận trước khi xem lời giải. Các bàitập khó hơn có đánh dấu * dành cho sinh viên khá, và phải có thời gian nghiềnngẫm nhiều hơn. Tác giả xin cám ơn các bạn trong tổ Giải tích khoa Toán trường ĐHSP Huếđã động viên góp ý khi viết cuốn sách này. Mong được nhận được những phêbình của các đồng nghiệp gần xa. Tác giả 4 A. KIẾN THỨC BỔ SUNG § 1 TẬP HỢP SỐ THỰC Chúng ta đã tiếp xúc nhiều với tập hợp số thực từ chương trình toán ở bậcphổ thông. Có nhiều cách xây dựng tập hợp số thực, chẳng hạn dùng nhát cắtDedekind, các dãy cơ bản…. của tập hợp số hữu tỉ Q. Ở đây với mục đích là hệthống lại những kiến thức cần thiết cho giải tích, chúng tôi sẽ chọn một số mệnhđề cơ bản làm tiền đề để định nghĩa tập hợp số thực. Các tính chất còn lại đượcsuy từ các tiên đề này.1.1. Định nghĩa: Tập hợp số thực, ký hiệu IR là một tập cùng với các phép toán cọng + vànhân . xác định trên đó, thoả mãn các tiên đề sau: I. (IR, +) là một nhóm cọng Abel, tức là với mọi x, y, z thuộc IR ta có: x+y=y+x x + (y + z) = (x + y) + z (∃ 0 ∈ IR) (∀ x ∈ IR): x + 0 = 0 + x= x (∀ x ∈ IR)(∃ (-x)∈ IR): x + (-x) = 0 II. (IR*,.) là một nhóm phân Abel, trong đó IR* = IR \{0}, nghĩa là với mọi x,y, z thuộc IR*, ta có: xy = yx x( yz) = (xy) z (( ∃ 1 Є IR*) : x1= 1x = x (∀x ∈ IR*)(∃ x-1∈ IR*): xx -1 = x-1x = 1 (Ở đây để cho gọn, ta viết xy thay cho x.y) III. Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cọng: Với mọi x,y thuộc IR ta có: x(y + z) = xy+ xz Như thế IR cùng với các phép toán cọng và nhân lập thành một trường IV. IR là một trường được sắp thứ tự, nghĩa là trong IR có xác định một quanhệ thứ tự ‘≤’ thoả: 5 1. x ≤ y và y ≤ z kéo theo x ≤ z 2. x ≤ y và y ≤ z tương đương x = y 3.Với hai phần tử tuỳ ý x,y Є IR thì hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x 4. x ≤ y kéo theo x + z ≤ y + z với mọi z ∈ IR 5. 0 ≤ x và 0 ≤ y kéo theo 0 ≤ xy Nếu x ≤ y và x ≠ y thì ta viết x x . V. Ta gọi một nhát cắt trong IR là một cặp (A,B) các tập con của IR sao cho A,B khác trống, A ∩ B = Ø, IR= A ∪ B và với mọi a ∈ A, b ∈ B thì a x (t.ư… x1 A ={x Є IR : (∃ a ∈ M) x ≤ a}; B ={y Є IR: (∀aЄ M) a c thì c’Є B. Với mọi z Є IR thìhoặc z Є A hoặc z Є B nên IR = A ∪ B. Nếu z Є A∩B thì có a ∈ M sao cho z ≤ a 0 là số dương, a 0)(∃n0)(∀n ≥ n0): ⎟ x – a⎟ 0 cho trước, theo điềukiện ii) có số nguyên n0 sao cho α – ε N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR Nguyên lý Archimède: Cho hai số thực a, b bất kỳ với a > 0. Khi đó tồn tại nЄ N sao cho b được một dãy đoạn thắt lại (vì hiển nhiên và bk – ak a= k → 0 khi k → ∞). Theo nguyên lý Cantor, dãy đoạn này có duy nhất phần tử 2 ∞chung ξ Є I . Vì mỗi đoạn chứa vô số các phần tử xn nên ta k =1hãy lấy phần tử xn1 ∈ rồi xn2 ∈ với n2 > n1, xn3 ∈ , n3 >n2… khi đó (xnk)k là dãy con của dãy (xn)n và⎟xnk – ξ⎪ ≤ bk - ak → 0 (k → ∞), nghĩalà dãy (xnk) hội tụ về ξ. 1.2.6 Dãy số thực (xn)n được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu: (∀ε > 0)(∃ n0)(∀ n ≥ n0)(∀ m ≥ n0) : ⎪xn –xm⎪ 0 cho trước sẽ có n0 sao cho với m, n ≥ n0 thì⎪xn – xm⎪ n0’ thì ⎪xn – ξ ⎪ ≤ ⎪xn – xnk ⎪ +⎪ xnk – ξ ⎪ 1b-a hay b - a > 1/n. Tương tự, có số nguyên p để p ≥ nb. Gọi q là số nguyên bé q-1 q-1nhất thoả mãn q ≥ n, do đó q-1 1/n trở lên. Vậy ta q-1tìm được số hữu tỉ r = n ∈ (a,b) Sự kiện phát biểu bởi định lý trên được gọi là tập số hữu tỉ Q trù mật trongtập số thực IR. Cũng từ định lý này, ta suy ra trong khoảng (a,b) có chứa vô số sốhữu tỉ. 9 §2. LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP Cho một tập hợp A, có các phần tử là những đối tượng nào đó. Ta chưaquan tâm đến bản chất các đối tượng này. Trước hết hãy thử để ý đến “số lượng”các phần tử của tập hợp A. Có thể xảy ra một trong hai khả năng: - Nếu đếm hết được các phần tử của tập hợp A thì A được gọi là tập hữuhạn và số nguyên cuối cùng đếm tới chính là số lượng các phần tử của tập hợpA. - Nếu việc đếm các phần tử của tập hợp A không thể nào kết thúc được thìtập hợp A được gọi là tập hợp vô hạn. - Bây giờ chúng ta muốn so sánh “số lượng” các phần tử của hai tập A, B.Nếu trong hai tập này có ít nhất một tập hữu hạn thì việc so sánh trở nên dễ dàngnhờ việc đếm các phần tử. Trường hợp cả A lẫn B đề vô hạn thì cách đếm khôngthể thực hiện nên chưa so sánh được. Ta xét ví dụ sau. Ký hiệu B là tập hợp cácsố tự nhiên chẵn: B = {2,4,6,…, 2n,…} Hiển nhiên B là tập con thực sự của tập số tự nhiên N = {1, 2,3,…}. Tuynhiên chúng ta không thể quả quyết rằng “số lượng” các phần tử của N nhiềugấp đôi “số lượng” các phần tử của B. Mặt khác, thực chất của việc đếm là thực hiện một đơn ánh từ tập ta đếmvào tập số tự nhiên N và muốn biết hai tập hợp có cùng số lượng hay không, tachỉ cần xem có thể thiết lập một song ánh giữa hai tập này ( tức là có thể chotương ứng mỗi phần tử của tập này với một và chỉ một phần tử của tập kia) haykhông. Bằng phương pháp này, việc so sánh “số lượng” phần tử của tập hữu hạnhay vô hạn vẫn còn hiệu lực.2.1. Tập hợp tương đương: 2.1.1. Định nghĩa: Ta nói hai tập hợp A, B là tương đương với nhau nếutồn tại một song ánh từ A lên B. 2.1.2. Ví dụ: 1. Hai tập hợp hữu hạn có cùng một số lượng các phần tử thì tương đươngvới nhau. 2. Ở ví dụ trong phần mở đầu, hai tập B = {2,4,...,2n,…} và N tương đươngvới nhau vì ta có một song ánh từ N lên B xác định bởi n → 2n, n ∈ N. Nhận xét: Tập B có được từ N sau khi bỏ đi tất cả các số nguyên lẻ nhưngB vẫn tương đương với N. Điều này không thể xảy ra đối với các tập hữu hạn. 10Do vậy, ta có định nghĩa khác (tương đương với định nghĩa trước) về tập hữuhạn và vô hạn như sau: Tập A được gọi là vô hạn nếu A tương đương với một tập con thực sự củanó. Tập A được gọi là hữu hạn nếu A không phải là tập vô hạn. 3. Tập (0,1) tương đương với tập (a,b) với a, b bất kỳ thuộc IR , a B . Người ta chứng minh được rằng, cho hai tập A, B bất kỳ bao giờ cũng xảyra một và chỉ một trong ba trường hợp. 1. Xảy A = B (tức là A, B tương đương với nhau) 2 Xảy A B2.2. Tập hợp đếm được: 2.2.1. Định nghĩa: Tập hợp A được gọi là tập hợp đếm được nếu A tươngđương với tập số tự nhiên N. Nói cách khác, A đếm được nếu và chỉ nếu tồn tạimột song ánh từ N lên A. Khi đó ta cũng nói A có lực lượng đếm được. Gọi a: N→ A là song ánh nói trên, ta có: N Э n → a (n) = an Є A Như vậy có thể nói tập hợp đếm được là một tập mà các phân tử của nó cóthể đánh số thành một dãy vô hạn. a1, a2, a3,…,an,… 11 2.2.2. Ví dụ: 1. Tập hợp các số tự nhiên chẵn, các số tự nhiên lẻ đều là các tập đếm được.Thật vậy, theo mục trước, card {2,4,6…} = cardN, còn E = { 1,3,5,...,2n +1,…}tương đương với N nhờ song ánh. N Э n → 2n + 1 Є E 2. Tập Z có số nguyên là đếm được. Để chứng tỏ điều đó, ta xét ánh xạ f :N→Z cho bởi : n 2 nếu n chẵn n → f(n) = ‘ 1- n 2 nếu n lẻ Dễ dàng kiểm tra f là song ánh ta có được kết luận 3. Tập các số hữu tỉ Q là đếm được. Thật vậy, một số hữu tỉ có thể viết pđược duy nhất thành một phân số tối giản , q > 0. Ta hãy tạm gọi tổng |p| + q q plà “hạng” của số hữu tỉ . Rõ ràng tập hợp tập hợp các phân số có hạng cho q 0 1 −1trước là hữu hạn, ví dụ: phân số có hạng 1 là = 0, hạng 2 là và , hạng 3 1 1 1 2 1 − 2 −1là , , , ,... Hơn nữa mỗi số hữu tỉ đều có hạng xác định nên ta có thể 1 2 1 2đánh số hữu tỉ thành dãy theo thứ tự tăng dần của hạng, tức là bắt đầu đánh sốcác số hạng 1 rồi tiếp theo các số hạng 2, hạng 3,…Vậy các phần tử của Q có thểsắp xếp thành dãy Q đếm được. Tiếp theo, chúng ta thiết lập các định lý cơ bản của tập đếm được. 2.2.3. Định lý: Mọi tập vô hạn luôn luôn có chứa một tập con đếm được. Chứng minh: Giả sử M là tập vô hạn. Lấy ra một phần tử bất kỳ a1 Є M. Khiđó M \ {a1} vô hạn nên lấy tiếp phần tử a2 Є M\ {a1} rồi a3 Є M {a1,a2} v.v …Quá trình này được tiếp tục mãi và ta thu được tập đếm được A = {a1, a2,…} ⊂M 2.2.4 Định lý: Mọi tập con của một tập đếm được thì phải là tập hữu hạnhoặc đếm được. Chứng minh: Giả sử A = {a1, a2,…} là tập đếm được và B là một tập concủa A. Gọi an1, an2,... Là các phần tử của A thuộc tập hợp B theo thứ tự tăng dầntrong A. Nếu trong các số n1, n2,... có số lớn nhất thì B là hữu hạn. Trường hợp 12trái lại, các phần tử của B được sắp thành dãy vô hạn an1, an2,... nên B đếmđược. 2.2.5. Định lý: Hợp một họ hữu hạn hay đếm được các tập đếm được là mộttập đếm được. Chứng minh: Cho A1, A2,… là dãy các tập đếm được. Ta có thể giả thiết cáctập này không giao nhau vì nếu khác đi, ta đặt B1 = A1, B2 = A2\ A1, B3 = A3\ (A1U A2),... Các tập Bi này hữu hạn hoặc đếm được, không giao nhau và∞ ∞U Ai = U Bi . Bây giờ ta sắp xếp các phần tử của A1,A2,... thành một bảng vô hạni =1 i =1như sau: A1 : a11 a12 a13 .... A2 : a21 a22 a23 .... A3 : a31 a32 a33 .... . . .

Xem thêm: " Áp Suất Hơi Bão Hòa Là Gì ? Nghĩa Của Từ Áp Suất Hơi Bão Hoà Trong Tiếng Việt

. ... Ta hãy đánh số tất cả các phần tử này theo “đường chéo” từ trái lên phíatrên. Do mỗi đường chéo có hữu hạn phần tử nên có thể đánh số thứ tự trênđường chéo thứ nhất rồi đường chéo thứ hai, thứ ba,... như sau: a11, a21, a12, a31, a22, a13,… ∞ Vậy tất cả các phần tử của tập A = U Ai được đánh số thành một dãy nên i =1tập A đếm được. Nhận xét: Trong cách chứng minh ta thấy nếu một số hữu hạn hay đếmđược các tập Ai (không phải tất cả) được thay bằng các tập hữu hạn thì kết luậncủa định lý không thay đổi. 2.2.6. Định lý: Khi thêm một tập hợp hữu hạn hay đếm được vào một tậpvô hạn M thì lực lượng của nó không thay đổi. Chứng minh: Giả sử A là tập hữu hạn hay đếm được. Ký hiệu N = M ∪ A.Theo định lý 2.2.3, tồn tại một tập đếm được B ⊂ M. Đặt M’= M\B, ta có M =M’ ∪ B nên N = M’ ∪ B ∪ A. Theo định lý 2.2.5, B ∪ A là tập đếm được nêntồn tại song ánh f giữa B và B ∪ A. Ta đặt: g : M = M’ ∪ B → N = M’∪ (B ∪ A) x nếu x Є M’ g (x) = f(x) nếu x Є B Như thế g là song ánh từ M lên N nên card M = Card N. 13 Theo định lý này ta thấy khoảng (a,b) tương đương với đoạn . Hơn nữa(a,b) tương đương với IR nên cũng tương đương với IR. Nhận xét: Từ các định lý 2.2.3 và 2.2.6 ta thấy lực lượng đếm được là lựclượng “bé nhất” trong các lực lượng của tập vô hạn. 2.2.7. Định lý: Tập hợp tất cả các dãy hữu hạn có thể thành lập được vớitất cả các phần tử của một tập hợp đếm được là tập đếm được. Chứng minh: Giả sử A = {a1,a2,...} là một tập đếm được. Ký hiệu Sm là tập ∞các dãy có đúng m phần tử của A dạng (ai1, ai2,...aim). Đặt S = U S m . Ta chứng minh m =1S đếm được. Trước hết S1 = A đếm được. Bằng qui nạp, giả sử Sm đếm được,hãy lấy ak Є A và ký hiệu Skm+1 là tập hợp tất cả các dãy có dạng (ai1, ai2,…,aim,ak). Giữa Skm+1 và Sm có một song ánh cho bởi (ai1, ai2,…,aim,ak) → ∞(ai1,ai2,…,aim). nên Skm+1 đếm được. Mặt khác vì Sm+1 = U S m +1 nên Sm+1 đếm k k =1được theo định lý 2.2.5. Cũng từ định lý này, S là một tập đếm được. 2.2.8. Hệ quả: Tập hợp tất cả các đa thức P(x) = a0 +a1x +...anxn (n bất kỳ)lấy giá trị trong IR với các hệ số hữu tỉ a0,a1,…, an là đếm được. Chứng minh: Mỗi đa thức tương ứng với một và chỉ một dãy hữu hạn các hệsố hữu tỉ của nó. Vì tập Q đếm được nên theo định lý 2.2.7, tập tất cả các dãyhữu hạn các số hữu tỉ là đếm được nên tập các đa thức này đếm được.2.3. Lực lượng continum: Ta đã xét các ví dụ và thiết lập các định lý về các tập hợp đếm được. Vậy cótập hợp vô hạn nào không phải là tập đếm được hay không? Định lý sau đây chota câu trả lời khẳng định. 2.3.1. Định lý. Tập hợp các số thực IR là tập vô hạn không đếm được. Chứng minh: Trong ví dụ ở Định lý 2.2.6 ta thấy IR tương đương với đoạn<0,1>. Do đó chỉ cần chứng minh <0,1> không đếm được. Giả sử trái lại <0,1> làđếm được. Khi đó các phần tử của nó được đánh số thành dãy x1,x2,..xn,… Chiacho <0,1> thành 3 đoạn bằng nhau và gọi đoạn không chứa x1 là ∆1. Lại chia tiếp∆1 thành 3 đoạn bằng nhau nữa và gọi ∆2 là đoạn không chứa x2,… Tiếp tục quá 1trình này ta thu được dãy đoạn ∆1 ⊃∆2 ⊃... với ∆n có độ dài là |∆n| = 3n sao choxn ∉ ∆n. Đây là dãy đoạn thắt lại nên theo nguyên lý Cantor, tồn tại ξ ∞Є I ∆ n ⊂ <0,1>. Do đó ξ phải trùng với một xno nào đó. Vì ξ Є ∆n với mọi n nên n =1xno Є ∆no. Điều này mâu thuẫn với cách xây dựng các đoạn ∆n. Vậy đoạn <0,1>không phải là tập đếm được. 14 Nhận xét: 1 1. Đặt a = {n : n Є N). Rõ ràng A là tập đếm được và chứa trong đoạn <0,1>.Do đó lực lượng đoạn <0,1> (hay IR) lớn hơn lực lượng đếm được. Người ta gọilực lượng này là lực lượng continum hay lực lượng c. 2. Tập hợp số thực bằng hợp của số hữu tỉ và số vô tỉ. Do tập số hữu tỉ đếmđược nên tập số vô tỉ không đếm được và cũng có lực lượng là c. BÀI TẬP 1.Hãy thiết lập một song ánh giữa hai tập (0,1) và <0,1> 2.Chứng minh tập các điểm gián đoạn của một hàm số đơn điệu xác địnhtrên là hữu hạn hoặc đếm được. 3. Giả sử E là một tập con của tập số thực IR có tính chất |x-y| > 1 với mọi x, yЄ E. Chứng minh E là một tập hữu hạn hoặc đếm được. 4. Giả sử E là một tập vô hạn. D là một tập con hữu hạn hay đếm được củaE sao cho E\D vô hạn. Chứng minh E\D có cùng lực lượng với E. 5. Cho A và B là các tập đếm được. Chứng minh A × B là tập đếm được. 6*. Ký hiệu E là tập hợp tất cả các dãy số (xn) trong đó xn = 0 hoặc xn = 1.Chứng minh E là tập hợp không đếm được. (Thực ra E có lực lượng c) 15 B. KHÔNG GIAN MÊTRIC §1. KHÁI NIỆM MÊTRIC. Phép toán đặc trưng của môn giải tích là phép toán lấy giới hạn. Để diễn tảkhái niệm này ta phải tìm cách xác định mức độ “ xa”, “gần’’ giữa các đốitượng. Các mứcs độ “xa”, “gần” đó có thể đưa vào một cách khá tự nhiên thôngqua kháis niệm khoảng cách hay mêtric được chính xác hoá bởi các định nghĩasau đây.1.1. Định nghĩa: Giả sử X là một tập tuỳ ý khác trống cho trước, một mêtric ( hay khoảngcách) trên X là một hàm số d: X × X→ IR thoả mãn 3 tiên đề sau đây: 1) d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y Є X: d (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y. 2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y Є X, (tính đối xứng). 3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z),với mọi x, y, z Є X (bất đẳng thức tam giác). Khi đó tập X với mêtric d đã cho gọi là một không gian mêtric và ký hiệu là(X,d). Đôi khi để đơn giản và nếu mêtric d được xác định rõ ràng, ta chỉ ký hiệuX. Bằng ngôn ngữ hình học, phần tử x ∈ X gọi là điểm của không gian X, sốthực dương (hay bằng 0) d(x,y) gọi là khoảng cách giữa 2 điểm x và y.1.2. Các ví dụ: 1.2.1. Giả sử M là tập hợp con khác trống của tập số thực IR. Ta hãy đặtd(x,y) = | x-y | với x,y ∈ M. Khi đó nhờ các tính chất quen thuộc của giá trị tuyệtđối, ta kiểm tra dễ dàng (M, d) là một không gian mêtric. 1.2.2. Ký hiệu IRk = {(x1,...xk) : xi Є IR, i = 1, k } là tập hợp các bộ k số thực.Với x = (x1,…,xk), y = (y1,...,yk) thuộc IRk, ta đặt: k d(x,y) = ∑(xi - yi)2 i =1 Khi đó các tiên đề 1)-2) rõ ràng, ta chỉ cần kiểm tra tiên đề 3) tức là chứngminh: k k k ∑( x i i 2 −z ) ≤ ∑( x i i 2 −y ) + ∑ ( y i − z i )2 i =1 i =1 i =1 i i i i i i Đặt ai = x – y , bi = y – z khi đó ai+ bi = x - z Ta lại có : 16 k k k k d (x,z) = ∑(ai+bi) = ∑ai = ∑bi + 2 ∑ai bi 2 2 2 2 i =1 i =1 i =1 i =1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schawrz cho số hạng sau cùng ta được: k k k k d (x,z) ≤ ∑ai + ∑bi + 2 2 2 2 ∑a i 2 ∑b2i i =1 i =1 i =1 i =1 (≤ k ∑a i + 2 k ) ∑b2i 2 i =1 i =1 Từ đó lấy căn hai vế và trở lại với ký hiệu cũ, ta có: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). k Vậy (IR ,d) là một không gian mêtric và gọi mêtric này là mêtric thôngthường trên IRk. Chú ý: 1. Khi k = 1 ta trở về ví dụ 1.2.1 với M = IR 2. Khi xét IRk mà không nói rõ mêtric nào thì ta qui ước là xét IRk với mêtricthông thường. 1.2.3. Giả sử X là một tập tuỳ ý khác trống. Ta đặt 0, nếu x = y d(x,y) = 1, nếu x ≠ yvới mọi x, y Є X. Ta hãy kiểm tra d là một mêtric trên X. Tiên đề 1) và 2) được nghiệm đúng. Tiên đề 3 có dạng: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) i. Nếu x ≠ z thì d(x,z) = 1 còn vế sau ≥ 1 ii) x = z thì d(x,z) = 0 còn vế sau ≥ 0 Vậy tiên đề 3) cũng thoả mãn nên (X,d) trở thành một không gian mêtric.Mêtric d này gọi là mêtric tầm thường trên X. 1.2.4. Ký hiệu tập hợp các hàm liên tục f : → IRlà C với hàm f,g thuộc C ta hãy đặt d(f,g) = max f ( x ) − g( x ) Vì f,g là các hàm liên tục trên nên hàm⎪f - g⎪cũng vậy. Do đó giá trịlớn nhất của hàm ⎪f - g⎪ đạt được trên khoảng đóng nên d(f,g) xác định.Các tiên đề 1)-2) hiển nhiên. Tiên đề 3) suy ra từ ∀x ∈ : ⎪f(x)-h(x)⎪≤ ⎪f(x)-g(x)⎪+⎪g(x)+h(x)⎪ 17 ≤ max f ( x ) − g( x ) + max g( x ) − h( x ) nên max f ( x ) − h( x ) ≤ max f ( x ) − g( x ) + max g( x ) − h( x ) hay d(f,h) ≤ d(f,g) + d(g,h) với mọi f,g,h∈ C . Không gian mêtric này thườngđược ký hiệu gọn là C . 1.2.5 Cũng trên tập hợp C ta đặt b d(f,g) = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a Các tiên đề 2)-3) dễ dàng kiểm tra. Ta có d(f,g) ≥ 0. Nếu d(f,g) = 0 tức làb∫ f ( x ) − g ( x ) dx = 0. Giả sử f ≠ g khi ấy có x0 ∈ để ⎪f(x)-g(x)⎪≥ ε > 0 vớiamọi x ∈<α,β> nào đó chứa trong . Như vậy b β β ∫ f ( x) − g ( x) dx ≥ ∫ f ( x) − g ( x) dx ≥ ∫ εdx = ε (α − β ) > 0. a α αĐiều này mâu thuẫn. Vậy f = g Không gian metric này được ký hiệu là C. a Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy có thể cho nhiều mêtric khác nhau trêncùng một tập X (tất nhiên sẽ nhận được các không gian mêtric khác nhau). Tùymục đích nghiên cứu, người ta sẽ chọn mêtric nào phù hợp với yêu cầu.1.3. Một số tính chất đơn giản Giả sử (X,d) là một không gian metric, ta có: 1.3.1 Cho x1,...,xn là các điểm của X. Khi đó ta có bất đẳng thức tam giácmở rộng: d(x1,xn) ≤ d(x1,x2) +...+d(xn-1,xn) Tính chất này được suy từ tiên đề 3 và lập luận qui nạp. 1.3.2. Với mọi x,y,u,v thuộc X ta có bất đẳng thức tứ giác: ⎪d(x,y) – d(u,v)⎪≤ d(x,u) + d(y,v) Thực vậy ta áp dung 1.3.1 ta có d(x,y) ≤ d(x,u) + d(u,v) + d(v,y)hay d(x,y) - d(u,v) ≤ d(x,u) + d(y,v)Thay đổi vai trò của x,y cho u,v ta lại được d(u,v) - d(x,y) ≤ d(x,u) + d(y,v) 18Như vậy có được điều phải chứng minh 1.3.3. Cho A,B là hai tập con khác trống trong không gian mêtric X. Đặt d ( A, B) = inf d ( x, y ) x∈A, y∈Bvà gọi số thực d(A,B) này là khoảng cách giữa hai tập A và B. Nếu A = {a} taviết d(A,B) = d(a,B) và gọi là khoảng cách từ điểm a đến tập B. Để ý rằng nếu A∩ B ≠∅ thì d(A,B) = 0 nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. Cho x,y ∈X, với mọi z ∈ A ta có ⎪d(x,A)-d(y,B)⎪≤ d(x,y) Thực vậy với x,y ∈X ta có d(x,A) ≤ d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z), ∀z ∈A. Do đó d(x,A) ≤ d(x,y) + inf d ( y, z ) z∈Ahay d(x,A) - d(y,A) ≤ d(x,y) Tương tự d(y,A) - d(x,A) ≤ d(x,y). Từ đó kết quả được chứng minh.1.4. Không gian metric con và không gian metric tích. 1.4.1. Định nghĩa. Giả sử (X,d) là một không gian metric và Y là một tập conkhác trống của X. Nếu xét hàm thu hẹp d’ của hàm d lên tập Y x Y : d\Y x Y thì hiểnnhiên d’ là một metric trên Y. Ta gọi d’ là mêtric cảm sinh bởi d lên Y. Với mêtriccảm sinh này, (Y,d’’) được gọi là không gian mêtric con của không mêtric (X, d). 1.4.2 Định nghĩa: Giả sử (X,dx) và (Y,dy) là hai không gian mêtric tuỳ ý.Trên tích Descartes X × Y = {(x,y) : x Є X, y ∈ Y} ta đặt d((x1, y1),(x2, y2)) = dX(x1,x2) + dY(y1, y2) Dễ dàng kiểm tra để thấy rằng d là một mêtric trên tập X × Y. Khi đó khônggian ( X × Y,d) được gọi là tích của các không gian mêtric X và Y.1.5. Sự hội tụ trong không gian mêtric: Các khái niệm hội và giới hạn trong không gian mêtric X bất kỳ được địnhnghĩa một cách tương tự trong tập IR với việc thay |x-y| bằng khoảng cách giữahai phần tử d(x,y). Một dãy trong không gian mêtric (X, d) là một ánh xạ. Ta cũng dùng kí hiệu quen thuộc là dãy (xn)nЄ N. Giả sử nk là một dãy tăngthực sự các số nguyên dương. Khi đó dãy (xnk)k được gọi là một dãy con củadãy (xn). 1.5.1. Định nghĩa: Giả sử X là một không gian mêtric và (xn)n là một dãytrong X. Ta nói dãy (xn)n hội tụ đến x∈X nếu khoảng cách giữa xn và x dần đến 0khi n → ∞. Lúc đó x được gọi là giới hạn của dãy xn và ta sẽ ký hiệu lim xn = x n →∞hay xn→ x, n → ∞. Diễn tả lại, ta có 19 ( lim xn = x ) ⇔ (lim d ( xn , x) = 0) n →∞ n →∞ ⇔ (∀ε > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 : d(xn, x) 0 tồn tại sốnguyên n0 sao cho d(xn, x)