Home / hình thang cânHÌNH THANG CÂN09/11/2021 Trong bài viết này, các em sẽ được ôn tập lại về phầ kiến thức hình thang cân, thông qua các bài tập cơ bản, có hướng dẫn kèm theo để dễ dàng luyện tập, củng cố bài trên lớp.Bạn đang xem: Hình thang cân LUYỆN TẬP HÌNH THANG CÂNCâu 1: Hình thang cân ABCD có AB //CD, AB oAD = BC (tính chất hình thang cân)∠C = ∠D (gt)Suy ra: ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền, góc nhọn)⇒ HD = KCCâu 2: Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OA = OB, OC = OD.Lời giải: Xét ΔADC và ΔBCD, ta có:AD = BC (tính chất hình thang cân)∠(ADC) = ∠(BCD) (gt)DC chungDo đó: ΔADC = ΔBCD (c.g.c) ⇒ ∠C1= ∠D1Trong ΔOCD ta có: ∠C1= ∠D1 ⇒ ΔOCD cân tại O ⇒ OC = OD (1)AC = BD (tính chất hình thang cân) ⇒ AO + OC = BO + OD (2)Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CNa, Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?b, Tính các góc của tứ giác BMNC biết rang góc ∠A = 40oLời giải: a, ΔABC cân tại A⇒∠B = ∠C = (180o- ∠A) / 2 (tính chất tam giác cân) (1)AB = AC (gt) ⇒ AM + BM = AN + CNMà BM = CN (gt) ⇒ AM = AN⇒ ΔAMN cân tại A⇒∠M1 = ∠N1 = (180o- ∠A) / 2 (tính chất tam giác cân) (2)Từ (1) và (2) suy ra: ∠M1 = ∠B⇒ MN // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)Tứ giác BCNM là hình thang có B = CVậy BCNM là hình thang cân.b, ∠B = ∠C = (180o – 40o) / 2 = 70oMà ∠M2+ ∠B = 180o – 70o = 110o∠N2= ∠M2= 110o (tính chất hình thang cân)Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.Lời giải: Xét hai tam giác AEB và AFCCó AB = AC (ΔABC cân tại A)∠ABE = ∠B/2 = ∠C/2 = ∠ACF∠A là góc chung⇒ ΔAEB = ΔAFC (g.c.g) ⇒ AE = AF ⇒ ΔAEF cân tại A⇒ ∠AFE = (180o− ∠A) / 2 và trong tam giác ΔABC: ∠B = (180o− ∠A) / 2 ⇒∠AFE = ∠B ⇒ FE//BC⇒ Tứ giác BFEC là hình thang.Vì FE//BC nên ta có: ∠FEB = ∠EBC (so le trong)Lại có: ∠FBE = ∠EBC⇒∠FBE = ∠FEB⇒ ΔFBE cân ở F ⇒ FB = FE⇒ Hình thang BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên (đpcm)Câu 5: Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.Lời giải: Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BKMà AC = BD (gt)Suy ra: BD = BK do đó ΔBDK cân tại B⇒ ∠D1 = ∠K (tính chất hai tam giác cân)Ta lại có: ∠C1 = ∠K (hai góc đồng vị)Suy ra: ∠D1 = ∠C1Xét ΔACD và ΔBDC:AC = BD (gt)∠D1 = ∠C1 (chứng minh trên)CD chungDo đó ΔACD = ΔBDC (c.g.c) ⇒ ∠(ADC) = ∠(BCD)Hình thang ABCD có ∠(ADC) = ∠(BCD) nên là hình thang cân.Câu 6: Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bang 50oLời giải:Giả sử hình thang ABCD có AB // CD và ∠D = 50oVì ∠C = ∠D (tính chất hình thang cân)⇒ ∠C = 50o∠A + ∠D = 180o (hai góc trong cùng phía)⇒ ∠A = 180o - ∠D = 180o – 50o = 130o∠B = ∠A (tính chất hình thang cân) Suy ra: ∠B = 130oCâu 7: Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc C.Lời giải: Ta có:AB = AD (gt)AD = BC (tính chất hình thang cân)⇒ AB = BC do đó AABC cân tại B⇒ ∠A = ∠C (tính chất tam giác cân)Mặt khác: AB//CD (gt)∠A1 = ∠C2 (hai góc so le trong)Suy ra: ∠C1 = ∠C2Vậy CA là tia phân giác của (BCD)Câu 8: Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại 0. Biết rằng OA = OC, OB = OD. Tứ giác ABCD là hình gì ? Vì saoLời giải: Ta có: OA = OC (gt)⇒ ΔOAC cân tại O⇒∠A1= (180o - ∠(AOC) ) / 2 (tính chất tam giác cân) (1)OB = OD (gt)⇒ ΔOBD cân tại O⇒ ∠B1= (180o - ∠(BOD) )/2 (tính chất tam giác cân) (2)∠(AOC) = ∠(BOD) (đối đỉnh) (3)Từ (1), (2), (3) suy ra: ∠A1 = ∠B1⇒ AC // BD (vì có cặp góc ở vị tri so le trong bằng nhau)Suy ra: Tứ giác ABCD là hình thangTa có: AB = OA + OBCD = OC + ODMà OA = OC, OB = ODSuy ra: AB = CDVậy hình thang ABCD là hình thang cân.Xem thêm: Đi Bộ Bao Nhiêu Phút Để Giảm Cân, Đi Bộ Bao Lâu Thì Giảm CânCâu 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AEa, Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao b, Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD =DE = EC?Lời giải: a, AD = AE (gt)⇒ ΔADE cân tại A ⇒∠(ADE) = (180o- ∠A )/2ΔABC cân tại A ⇒ ∠(ABC) = (180o- ∠A )/2Suy ra: ∠(ADE) = ∠(ABC)⇒ DE // BC (Vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)Tứ giác BDEC là hình thang∠(ABC) = ∠(ACB) (tính chất tam giác cân) hay ∠(DBC) = ∠(ECB)Vậy BDEC là hình thang cân.b, Ta có: BD = DE ⇒ ΔBDE cân tại D∠B1 = ∠E1Mà ∠E1 = ∠B2(so le trong)⇒ ∠B1 = ∠B2DE = EC ⇒ ΔDEC cân tại E⇒ ∠D1 = ∠C1∠D1 = ∠C2(so le trong)⇒ ∠C1 = ∠C2Vậy khi BE là tia phân giác của ∠(ABC), CD là tia phân giác của ∠(ACB) thì BD = DE = EC.Câu 10: Hình thang cân ABCD có 0 là giao điểm của hai đường thắng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy.Lời giải: Ta có: ∠(ADC) = ∠(BCD) (gt)⇒ ∠(ODC) = ∠(OCD)⇒ΔOCD cân tại O⇒ OC = ODOA + AD = OB + BCMà AD = BC (tính chất hình thang cân)⇒ OA = OBXét ΔADC và. ΔBCD:AD = BC (chứng minh trên)AC = BD (tính chất hình thang cân)CD chungDo đói ΔADC và ΔBCD (c.c.c)⇒ ∠D1= ∠C1 ⇒ΔEDC cân tại E⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CDOC = OD nên O thuộc đường trung trực CDE ≠O. Vậy OE là đường trung trực của CD.Ta có: BD= AC (chứng minh trên)⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực ABOA = OB nên O thuộc đường trung trực của ABE ≠O. Vậy OE là đường trung trực của AB.Câu 11:a, Hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = b , đáy lớn CD = a, đường cao AH. Chứng minh rằng HA = (a - b) / 2 , HC = (a + b) / 2 (a, b có cùng đơn vị đo).b, Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm và cạnh bên 17cm.Lời giải:a, Kẻ đường cao BKXét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:∠(AHD) = ∠(BKC) = 90oAD = BC (tỉnh chất hình thang-Cân)∠D = ∠C (gt)Do đó: ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ HD = KC.Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên AB = HKa – b = DC – AB = DC – HK = HD + KC = 2HD ⇒ HD = (a – b) / 2HC = DC – HD = a - (a – b) / 2 = (a + b) / 2b, HD = (CD – AB) / 2 = (26 – 10) / 2 = 8 (cm)Trong tam giác vuông AHD có ∠(AHD) = 90oAD2 = AH2 + HD2 (định lý Pi-ta-go) ⇒ AH2 = AD2 - HD2AH2 = l72 - 82= 289 – 64 = 225AH = 15 (cm)Câu 12: Hình thang cân ABCD có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC, BD là tia phân giác của-góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 3cm.Lời giải: Ta có: AD = BC = 3 (cm) (tính chất hình thang cân)∠(ABD) = ∠(BDC) (so le trong)∠(ADB) = ∠(BDC) (gt)⇒ (ABD) = (ABD)⇒ΔABD cân tại A⇒ AB = AD = 3 (cm)ΔBDC vuông tại B∠(BDC) + ∠C = 90o∠(ADC) = ∠C (gt)Mà ∠(BDC) = 1/2 ∠(ADC) nên ∠(BDC) = 1/2 ∠C∠C + 1/2 ∠C = 90o ⇒ ∠C = 60oTừ B kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại E.Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE⇒ DE = 3 (cm), BE = 3 (cm)∠(BEC) = ∠(ADC) (đồng vị)Suy ra: ∠(BEC) = ∠C⇒ΔBEC cân tại B có ∠C = 60o⇒ΔBEC đều⇒ EC = BC = 3 (cm)CD = CE + ED = 3 + 3 = 6(cm)Chu vi hình thang ABCD bằng:AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 6 + 3 = 15 (cm) Tải về